Régime Transitoire 2 Degrés de Liberté.

TEST n°3.

ccc

Le circuit électrique oscillant faiblement amorti est alimenté par un générateur de tension e(t).

1- On désire observer les modes propres de ce circuit électrique sur un écran d'oscilloscope
- Donner les caractéristiques de l'oscilloscope.
- Préciser la forme et la valeur de la fréquence de la tension e(t) que l'on doit choisir ?
- Quels sont alors les branchements nécessaires à réaliser ?

Réponse
  • Caractéristiques de l'oscilloscope :
    Osilloscope à double entrées (ou voies) `CH1` et `CH2` à masse commune et doté du mode `INVERT`. Cet oscilloscope doit être aussi doté du mode `ADD` permettant d'additionner les deux signaux présents aux deux entrées `CH1 + CH2` ou `CH1-CH2` si le mode `INVERT` est activé.

  • Forme et la valeur de la fréquence de la tension `e(t)` :
    La tension `e(t)` est de forme carrée `e(t)=±e_0` et de fréquence `f` assez inférieure à la plus petite fréquence propre du circuit oscillant. Cette dernière condition permet de mesurer les valeurs moyennes des tensions observées sur l'écran de l'oscilloscope.

  • Branchements nécessaires à réaliser :
    Pour observer `v_{C1},` on doit relier le point `M` à la masse de l'oscilloscope (GND) et le point `A` à l'une des entrées par exemple `CH2` : ##v_A (t)-v_M (t)=v_{C1} (t).##

    Pour observer `v_{C2},` on doit relier le point `M` à la masse de l'oscilloscope (GND), le point `A` à l'entrée `CH2` en mode INVERT et le point `B` à l'entrée `CH1.` Le mode `ADD` est activé : ##v_B (t)-v_M (t)-(v_A (t)-v_M (t))=v_B (t)-v_A (t)=v_{C2}(t).##

2- Les courbes (a) et (b) observées sont représentées ci-dessous :


ccc      ccc


Télégharger la courbe (a)                      Télégharger la courbe (b)

- Identifier les courbes en justifiant votre réponse.
- Sachant que la valeur de l'inductance `L=10  mH` :
* Calculer par différentes méthodes le coefficient de couplage `K.`
* La capacité `C_0` du condensateur de couplage.
* Calculer la valeur de l'amplitude `e_0` de `e(t).`

Réponse

ccc      ccc

  • Identification des courbes :
    La valeur moyenne de `e_{v_{C1}` est supérieure à la valeur moyenne `e_{v_{C2},` puisque :

    ## \begin{cases} K=\dfrac{e_{v_{C2} }}{e_{v_{C1} }}\\ 0≤K≤1 \end{cases} \implies ## ## 0≤\dfrac{e_{v_{C2} }}{e_{v_{C1} }}≤1 \implies ## ##e_{v_{C1} }≥e_{v_{C2} }##

    Courbe (a) : ##e_{(a)}=3.0\times1=3.0  V##
    Courbe (b) : ##e_{(b)}=2,5\times0,2=0,50  V##

    `e_{(a)}>e_{(b)}\implies` La courbe (a) correspond à `v_{C1}` et la courbe (b) à `v_{C2}.`

  • Calcul du coefficient de couplage K par différentes méthodes :

    • En fonction des valeurs moyennes:

      ##K=\dfrac{e_{v_{C2} }}{e_{v_{C1} }}\implies ## ## K=\dfrac{0,5}3\implies## ##K=\dfrac16\implies##
      ##K=0,17##


    • En fonction des fréquences d'oscillation `F_0` et de modulation `F_M`:

      ##K=\dfrac{2F_0F_M}{F_0^2+F_M^2} ##

      Courbe (a) : ## \begin{cases} 4T_0=0,80\times2\\ T_M=2,4\times2 \end{cases} \implies ## ## \begin{cases} T_0=0,40  ms\\ T_M=4,8 ms \end{cases} \implies ## ## \begin{cases} F_0=\dfrac1{T_0}=2,5  kHz\\ F_M=\dfrac1{T_M}=0,21 kHz \end{cases} \implies ## ##K=\dfrac{2\times2,5\times0,21}{2,5^2+0,21^2}\implies ##
      ##K=0,17##


  • Calcul de `C` :

    ##F_1=F_0-F_M\implies## ##F_1=2,5-0,21\implies## ##F_1=2,3  kHz##
    ##F_1=\dfrac1{2π\sqrt{LC}}\implies## ##C=\dfrac1{4π^2 L F_1^2}\implies## ##C=\dfrac1{4\timesπ^2\times10\times10^{-3}\times2,3^2 \times10^6 }\implies##
    ##C=0,48  μF##

  • Calcul de `C_0` :

    ##K=\dfrac{C}{C+C_0}\implies## ##K(C+C_0 )=C\implies## ##KC_0=(1-K)C\implies## ##C_0= \dfrac{1-K}{K}C \implies## ##C_0=\dfrac{1-0,17}{0,17}\times 0,48\implies##
    ##C_0=2,3  nF##
  • Valeur de l'amplitude `e_0.`

    ##e_{v_C1 }=\dfrac1{1+K} e_0\implies## ## e_0=(1+K) e_{v_C1 }\implies## ## e_0=(1+0,17)\times3\implies##
    ## e_0=3,5 V ##